巴拿赫-塔斯基悖论

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巴拿赫-塔斯基悖论(或称豪斯道夫-巴拿赫-塔斯基悖论,又名“分球怪论”),是一条数学定理。 1924年,斯特凡·巴拿赫和阿尔弗莱德·塔斯基首次提出这一定理。这一定理指出在选择公理成立的情况下可以将一个三维实心球分成有限(不勒贝格可测的)部分,然后仅仅通过旋转平移到其他地方重新组合,就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。巴拿赫和塔斯基提出这一定理原意是想拒绝选择公理,但该证明很自然,因此数学家认为这仅意味着选择公理可以导致少数令人惊讶和反直觉的结果。

设A和B是欧几里德空间的两个子集。如果它们可以分为有限个不相交子集的并集,形如

对球来说,五块就足够做到这点了,但少于五块却不行。这个悖论甚至有个更强的版本:

换句话说,一块大理石可以分成有限块然后重新组合成一个行星,或者一部电话机可以变形之后藏进一朵百合花里面。在现实生活中这种变形之所以不可行是因为原子的体积不是无限小,数量不是无限大,但其几何形状确实可以这样变形的。如果知道总是可以存在从一个几何体的内部点一一映射到另一个的方法,也许这个悖论看上去就不那么怪异了。例如两个球可以双射到其自身同样级别的无限子集(例如一个球)。同样我们还可以使一个球映射到一个大点或者小点的球,只要根据半径放大系数即可将一个点映射到另一个。然而,这些变换一般来说不能保积,或者需要将几何体分割成不可数无限块。巴拿赫-塔斯基悖论出人意料的地方是仅用有限块进行

使这个悖论成为可能的是无限的卷绕。技术上,这是不可测的,因此它们不具有“合理的”范围或者平常说的“体积”。用小刀等物理方法是无法完成这种分割的,因为它们只能分割出可测集合。这个纯粹存在性的数学定理指出在多数人熟悉的可测集合之外,还有更多更多的不可测集合。

对于三维以上的情形这个悖论依然成立。但对于欧几里德平面它不成立。(以上叙述不适用于三维空间的二维子集,因为这个子集可能具有空的内部。)同时,也有一些悖论性的分解组合在平面上成立:一个圆盘可以分割成有限块并重新拼成一个面积相同的实心正方形。参见塔斯基分割圆问题。

这个悖论表明如果等度分解的子集被认为具有相同体积的话,就无法对欧几里德空间的有界子集定义什么叫做“体积”。

证明是基于费利克斯·豪斯道夫早些时候的工作。他于1914年发现一个类似的悖论,事实上,巴拿赫-塔斯基悖论正是豪斯道夫所用技术的一个推广应用。

逻辑学家常常对逻辑上不一致的命题使用“悖论”一词,例如说谎者悖论或者罗素悖论。巴拿赫-塔斯基悖论并非这种意义上的悖论,它是一个已证明的定理,只因为违反直觉才被称为悖论。由于其证明明确地用到选择公理,这种反常的结论被用作反对使用该公理的理据。

第一步,具有两个生成元a和b的自由群由所有含有a和b这些符号的有限字符串组成,其中没有a紧挨着a(a代表a的逆元,b相同)或者b紧挨着b这种现象。两个这样的字符串可以连接在一起,只要将紧挨着的a和a抵销掉(对b一样)。例如ababa连接到ababa得到ababaababa,并可化简为abaaba。我们可以验证这些字符串在这个操作下构成一个群,其单位元是空串e。我们称这个群为F_2。群F_2可被进行如下特殊分割:令S(a)为所有a开头的字符串,同理定义S(a)、S(b)和S(b)。很明显:F_2={e}∪S(a)∪S(a)∪S(b)∪S(b) 并且:F_2=aS(a)∪S(a),同时:F_2=bS(b)∪S(b)。 (aS(a)表示从S(a)取出所有字符串,并在左边连接上一个a。)证明的关键就在这里了,请仔细看清楚。现时我们将F_2这个群分成四块(e忽略也没有问题),然后通过乘上一个a或者b来“旋转”它们,然后将其中两个“重新组合”成F_2,赫塔费另外两个重新组合成另一个F_2。这就是我们想要对球体所做的事情。

第二步,为了寻找三维空间旋转群类似于F_2那样的行为,我们取两条坐标轴并设A在第一条轴上旋转arccos(1/3)弧度而B是另一条轴上旋转arccos(1/3)弧度。(这一步骤不可在二维上完成,因为涉及到三维空间中的旋转。如果在二维平面上任取两种旋转来试图组成这样的群,得到的群将是一个交换群从而不具有F_2的性质。)有些琐碎但不太难的是这两种旋转的行为正如F_2中a和b两个元素的行为一样,这里就略去。由A和B所生成的这个旋转群命名为H。当然,我们可以按照第一步所述方法对H进行分割。

第三步,单位球面S可被群H中的操作分成一些轨道:两个点属于同一个轨道当且仅当H中第一个旋转将第一个点移到第二个。我们可以利用选择公理在每个轨道中选出来一个点。将这些组合起来组成集合M。现时在S中(几乎)所有点都可以通过H中合适的数相应的转动移到M中。因此,H的分割也就可以应用到S上面去。

第四步,最后,将每个S的点连到原点,对S的分割便可以应用到实心单位球上去。(球心处会有些特殊,但在这个简要证明中忽略它。)

总结,这个简要证明到此结束。对于H中某些刚好对应于某些以上的矩阵旋转要加以特殊处理。一方面,这些点是可数的因此没有影响,另一方面,即使是些点也可以加以修正(这同样适用于球心点)。

深圳盐田·拉科鲁尼亚友谊塔在烟墩山国际友好公园奠基

2017年4月21日上午,盐田区在烟墩山国际友好公园举行了深圳盐田·拉科鲁尼亚友谊塔奠基仪式,拉科鲁尼亚市长胡里奥·费雷罗(·巴蒙德),西班牙驻穗总领事马尔克斯·戈麦斯(·马丁内斯),拉科鲁尼亚市企业家协会主席安东尼奥(·哈维尔)·丰特拉(·拉米尔),盐田区委书记杜玲,市友协副会长王昱文出席仪式。

胡里奥·费雷罗(·巴蒙德)在友谊塔奠基基坑放置装有赫拉克利斯古塔石块、双方合作协议、当日报纸的花瓶。他还代表西班牙拉科鲁尼亚市政府在到来之后受到的热情接待表示衷心的感谢。他表示,盐田与拉科鲁尼亚两地虽相隔万里,但我们却同为朋友,此次来访,不仅密切两地联系,而且通过海格力斯塔奠基宣传了文化,促进双方文化交流,具有双重意义。海格力斯塔(友谊塔)的动工建设,将会成为增进双方共同利益,加强互相联系的共同桥梁,有利于帮助两地发展与进步,促进两地的繁荣发展。

杜玲代表盐田区委区政府,对不远万里来到盐田的拉科鲁尼亚市长费雷罗先生一行,对专程前来参加仪式的西班牙驻穗总领事戈麦斯先生,对市友协副会长王昱文先生表示热烈的欢迎。她表示,盐田与拉科鲁尼亚虽然相隔万里,但是两地在人口规模、地理环境、特色产业等方面有很多相似之处,为两地开展深入交流合作奠定了良好基础。衷心希望以友谊塔的开工建设为契机,以此为桥梁,马略卡进一步密切两地关系,加强往来。
更多精彩尽在这里,详情点击:http://jiaoguanzc.com/,马略卡同时也衷心祝愿两地通过更高层次、更广领域的合作,取得更多实质性的成果。

出席此次奠基仪式的盐田区领导还有:盐田区人大常委会主任梁景海,区政协主席武威,区委常委、常务副区长时卫干,区委常委雷卫华,马略卡区委常委、区委(区政府)办公室主任王琨。

据悉,2016年4月,盐田区政府与西班牙拉科鲁尼亚市正式签订友好交流合作协议,开启了两地合作的新篇章。今天所举行的深圳盐田?拉科鲁尼亚友谊塔奠基仪式,将进一步助推双方未来在各领域的不断深化,为共同合作结出更多互惠互利硕果,共建共享城市文明。

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桂林发现距今12000年左右岭南地区最原始陶器

经过两个多月的考古挖掘,专家们在广西桂林市大岩遗址发现了一批距今12000年左右的原始陶器。1月29日,广西文物考古研究所研究员李珍接受中新社记者采访时表示,该批文物是目前中国岭南地区出土的最原始的陶器,充分证明了桂林是中国史前陶器中心起源地之一。

大岩遗址位于桂林市临桂县下岩门山北麓,早期体系完整,是岭南地区旧石器时代晚期到新石器时代文化的一个典型代表,马略卡于1999年被首次调查发现。
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29日,记者来到临桂县文物管理所。作为本次考古领队,李珍与他的同事正在对发掘回来的文物进行整理。他告诉记者,马略卡本次出土的文物以陶器碎片为主,还包括石器、骨器、蚌器等先民生产生活所留下来的遗物。其中,3件处于旧、新石器时代过渡期制作的陶器碎片尤为珍贵。

李珍说,这3件陶器的器形简单,制作时加砂较多,火候低,是早期陶器的代表。预计制作年代应在距今12000年左右,是目前中国岭南地区出土的最原始的陶器。

李珍表示,大岩遗址现已出土的文物将最初没有纹饰的原始陶器,到后期发展较为成熟的圜底陶器均涵盖其中,年代跨越10000多年,且与此前在桂林甑皮岩遗址发掘的陶器有明显的传承性,充分证明了桂林是中国史前陶器中心起源地之一。

参与本次考古工作的桂林甑皮岩遗址博物馆副馆长韦军亦称,此次挖掘工作,除进一步探索旧、新石器时代过渡阶段的文化内涵及特征外,为重新建构桂林的史前文化序列也起到了十分重要的作用。目前,除部分陶器留作考古研究用途外,其余部分已进行保护性回填。

据了解,像大岩遗址这样的洞穴遗址在桂林已发现72处,是目前中国发现洞穴遗址最丰富、最集中的城市之一。桂林境内的靖江王府及王陵、甑皮岩遗址已于2010年被列入首批国家考古遗址公园立项名单。

目前,桂林市相关部门正在积极筹划,集结境内的72处洞穴遗址,申请纳入“国家大遗址保护规划体系”。(杨陈 李果)

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优势与劣势分析英超狼队vs曼彻斯特联

。狼队上上赛季英冠夺冠升入英超,球队硬实力不俗,且长期爆冷强队,上赛季最终名列英超第7位,新赛季目前球队暂列英超第12名。曼联英超传统强队,上赛季整体表现低迷,仅名列英超第6位,不过新赛季球队阵容进行了重点升级,整体表现提升很大,球队目前暂列英超第8名。两队过去10场交锋,曼彻斯特联收获6胜1平3负不错战绩,往绩曼彻斯特联占据优势。

1、狼队新赛季防守奇佳,7场各项赛事仅失1球,且还是大比分领先的安慰球,此外还零封曼城。

2、狼队新赛季阵容得到升级,转入希门尼斯(本菲卡,3800万欧)、佩德罗内托(拉齐奥,1830万欧)、库特罗内(AC米兰,1800万欧)、登东科尔(安德莱赫特,1350万欧)等多名高质量引援,也是球队近期战绩强势的关键。

3、狼队打曼联不虚,上赛季3场交锋取得2胜1平,其中联赛主场胜客场平,足总杯赢球把曼联淘汰,3场比赛全部赢盘。

1、狼队有很强的蛋蛋属性,上赛季中后期就频繁打出蛋蛋,新赛季3场与英超球队的交锋也狂出2场蛋蛋。

1、曼联比赛不缺球,上赛季38场英超34场至少2球,为英超第2多,其中26场大2.5球,本赛季首场便是4球超大。

2、曼联新赛季进攻出色,赫塔费6场各项赛事都有进球,且对手多为传统强队,进球含金量很高。

3、曼联休赛期对阵容进行了优势,转入丹尼尔詹姆斯(斯旺西,1500万镑)、万比萨卡(水晶宫,5000万镑)、马奎尔(莱斯特城,8000万镑),转出埃雷拉(巴黎圣日耳曼,自由转会)、瓦伦西亚(基多体育大学,自由转会)、卢卡库(国米,8000万欧),目前阵容更加合理。

4、曼联休赛期表现强势,6场热身赛取得5胜1平,其中胜场对手包括热刺、国米这类实力不俗的对手,首场英超便4比0狂胜切尔西,球队取得开门红,士气正佳。

1、曼联上赛季10场英超输球多达7场为客负,最后6个正赛客场更是惨遭1平5负,唯一平局对手还是最弱副班长哈镇。

1、狼队上赛季时隔六年回到了英超赛场,在中国财团的支持下,球队投入不少,最终拿到了联赛第七位,也重返欧战赛场。本赛季球队在欧联杯资格赛已经晋级决胜轮,阵容方面保留了上赛季的主力框架,还从红黑军团引进了小将库特罗内,进攻端实力有所提升。上周末的联赛第一轮,狼队做客皇权球场以0比0逼平了莱斯特城,表现不俗。

2、曼彻斯特联上赛季前半程表现不佳,在索尔斯克亚接手执教后,球队也走出了困境,欧冠大逆转大巴黎晋级八强,联赛端后程发力不足,只拿到了第六位,表现一般。本赛季红魔大手笔引进了后场阵容,从水晶宫引进了万比萨卡,从莱斯特城引进了最贵后卫马奎尔。上周末的联赛揭幕战,红魔主场4比0血洗了蓝军,拉什福德,马夏尔和小将詹姆斯先后进球。

新赛季首战,狼队客场与莱斯特城0比0战平,16号主场欧联杯资格赛狼队4比0大胜埃里温凤凰,显示出了不俗的状态,尤其是进攻端,此外,他们此前3次面对曼联保持不败(2胜1平),其中2次主场都取胜。曼彻斯特联在新赛季首战以4球大胜切尔西,士气高涨,而且由于上周没有赛事,休整时间比狼队多消息了4天,备战和体能都十分充足。看好本场曼彻斯特联反客为主。

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《魔兽世界》黑爪龙虾介绍

魔兽世界60年代怀旧服有很多消耗品,比如黑爪龙虾正是当中之一。赫塔费很多人对于该物品来源并不清楚。那么怀旧服版本黑爪龙虾在哪里掉?下面就为大家带来魔兽世界怀旧服黑爪龙虾分布位置介绍。

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华丽超能战技+重武器火力压制,打个架都科技感爆棚 豌豆荚专业评分第50期

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一台主机一个岛屿!《集合啦动物之森》购买注意

在继日本任天堂之后,香港任天堂也是更新了《集合啦动物之森》的预购页面介绍,新增了部分购买注意内容,提醒玩家注意游戏存档的问题。

《集合啦动物之森》是以1台Nintendo Switch和1份游戏软件,支援登录在主机的最多8位用户,共同在1个岛屿上游玩的游戏。即使有数份游戏软件,1台Nintendo Switch主机只能制作1个岛屿。如需制作多1个岛屿,需要多1台主机。

岛屿的游戏储存资料保存在Nintendo Switch主机内,即使合并盒装版和下载版亦只有1个岛屿(储存资料)。

简单点说,就是一个台主机只能创建一个岛屿,就算你买多一个游戏或者登陆其他账号进入游戏,还是那个岛屿,岛屿的存档保存在Switch主机内容。

本游戏的储存资料不支援“用户转移”和“储存资料转移”。如果购买“第2台主机”,无法将原来的岛屿转移到另一台主机。

考虑到Nintendo Switch主机的损坏、遗失、被盗的可能性,
更多精彩尽在这里,详情点击:http://jiaoguanzc.com/,马略卡本游戏正考虑加入独立的储存资料备份功能。此功能只限已加入Nintendo Switch Online的玩家可使用,开始时间待定,详情会在日后公布。

由于代工厂尚未复工,马略卡导致目前Switch主机和配件等都断供,因此《动物之森》限定款Switch主机之前公布的2月8日预购时间也将延后,不过目前只是主机跳票,《集合啦动物之森》游戏还是原定日期3月20日正式发售!

西班牙拉科鲁尼亚市客人访深

深圳特区报讯(记者 孙锦)副市长艾学峰昨天会见了西班牙拉科鲁尼亚市市长费雷罗一行,并就两地在重点领域拓展务实合作展开交流。

艾学峰表示,深圳正加快建设现代化国际化创新型城市,致力于与世界先进城市建立广泛的国际合作,不断增强持续创新动力,希望两地以海洋经济领域的独特地缘优势,重点推进港口物流、马略卡邮轮旅游等领域合作。

费雷罗表示,作为海上丝绸之路的沿线城市,位于西班牙北部的拉科鲁尼亚地处连接美洲与亚洲的重要位置,拥有大西洋沿岸最繁忙港口之一,并将海洋经济作为城市重要的支柱产业,期待与深圳在该领域拓展更多合作项目。马略卡

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2020年03月09日 西甲 维拉里尔 VS 雷加利斯 视频直播

4.56体育从西甲官网了解到,维拉里尔 VS 雷加利斯将在北京时间2020年03月09日01时30分为您提供维拉里尔 VS 雷加利斯视频直播信号,喜欢维拉里尔 VS 雷加利斯直播的球迷可以在本页面通过高清无插件信号在线观看维拉里尔 VS 雷加利斯的比赛直播。赫塔费5.比赛结束后,
更多精彩尽在这里,详情点击:http://jiaoguanzc.com/,赫塔费你可以继续通过本页面查看最即时的《维拉里尔 VS 雷加利斯》全场录像、全场视频集锦和全场战报。6.也可以通过本页面查看更多维拉里尔 VS 雷加利斯,西甲的近期以及历史直播赛事。

《魔兽世界怀旧服》恶魔之名任务第二步攻略 任务怎么做

魔兽世界怀旧服恶魔之名任务第二步怎么做?WOW怀旧服艾萨拉的赫塔拉在哪儿?玩家在找到了海巨人之神亚考罗克之后,他提出如果需要他帮忙,就必须先帮他一个忙,你需要杀死多头蛇赫塔拉,为了亚考罗克的孩子们报仇,有不少玩家找不到赫塔拉在哪儿,下面86就来教大家找到多头蛇赫塔拉的踪迹,具体操作如下啊:

她是一只精英怪,赫塔费相当于一个小boss级别,玩家需要组队才能前往对它进行击杀。

一个人挑战非常的危险!
更多精彩尽在这里,详情点击:http://jiaoguanzc.com/,赫塔费确保自己的背包中有三个空格,拿到头颅之后就去找亚考罗克复命。

君子乐陶(古代陶器欣赏)

这是一件盛酒的祭器,尊上刻有符号,可能表示高耸的树。最迟在新石器时代晚期国人就形成“天地、人、神”三界的世界观,巫师则是往来于三界之间,沟通人神的使者。在巫术世界中,山和树都是通天天梯,巫师借助天梯上天入地,上达民意下传神旨,让神赐福于民。此刻符当有天梯的寓意。这是当时人们的世界观,因种种条件限制而不可避免地存在局限性。

有研究者认为,此陶尊是一个合体图画会意字,表示日、月、山。也有人认为这是“炅”(热)字,太阳在云气之上,云气之下有五峰耸立(一说海水);或者是“旦”字,一个永恒的圆,从山峰云端或汹涌的大海波涛中升起。可以看出,文字是以象形为基础,由图画符号演进而来,后由史官或巫进行加工整理而成的表意文字。类似的符号在不同的地点发现了三个。整体上还属于图画,但是造型规整,线条劲炼,讲究对称,已经具备了书法美的一些特征。

有关汉字的起源,主要存在“八卦说”、“结绳说”、“书契说”和“仓颉造字”的传说,后来还出现了“汉字西来说”和“文字多源论”等观点,但没有任何一种说法成为最终定论。如果从哲学的角度来说,没有结论也是一种结论,符合汉字神秘、神奇、神性的特点。目前已知最早的、系统的、成熟的文字是甲骨文,其实甲骨文之前,尚有不系统、不成熟的文字存在。甲骨文是锲刻文字,而出土于河南郑州小双桥的朱书陶文,则是目前所发现的商代最早的书写文字。这些陶器表面书写的“朱书陶文”,约有8个字,因文字没能连缀成文,暂无法释读,理解大意。书写在陶缸表面的绳纹之间,书写用的工具是毛笔,颜料为朱砂。字体颜色鲜艳如初,字迹工整,书写流畅,笔划规范,造型优美。依据“夏商周断代工种”测年资料,河南郑州小双桥遗址相当于公元前1435年-公元前1412年,距今3400多年。

中华文明的起源,正是由最早的原始陶文(刻划符号)发展形成了汉字。实际上,陶文主要有两种,一种是古人在陶器上刻画的文字符号,较有名的如半坡陶符、丁公陶文、高邮陶文等,是比甲骨文更早的文字,已具有一种“标记”和“表号”的性质,被认为是汉字的最早雏形;第二种是战国时代陶器上的文字,一般只有几个字,大多是印文,内容为人名、官名、地名、督造者名、吉祥语和年月等。广而言之,陶文化乃是中国传统文化的重要组成部分。在此之前,则称为先陶文化,通常是指旧石器时代晚期中,尚未拥有制陶技巧的史前人类所产生的文化,纯粹以渔猎维生。作为新石器时代的最主要的文化遗存之一,就是原始陶器——素陶和彩陶。陶器几乎是在人类进入石器时代之后,就开始在各民族和各种文化中产生和发展,原因很简单,人们在用火炙烤泥土的时候,意外发现陶土会变得十分坚硬,这就出现了陶器,马略卡成为日常生活中不可或缺的主要器具。

陶文是文明的起源,文化是文明的基础,文明是文化的升华。需要强调的是“文明的起源”,到底这条线应该划在哪个历史阶段才算合适?文明起源的唯一表现形式便是“文字”的出现,“文字”的出现也就是“文明”的起源。文字是人类真正的创造,是惊天动地的创造,怎么评价都不为过。在文字产生前,一切物质基础均是文字产生的铺垫,文字产生后,物质便是精神的产物。原始先民终于从具象思维走向了抽象思维,从感性认识走向了理性认识,从而迈进新时代。

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