加那利群岛

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加那利群岛,是非洲西北海域的岛屿群,面积7273平方公里,是西班牙的一个自治区,也是欧盟的领域,人口约209万。

东部岛群包括兰萨罗特岛富埃特文图拉岛及 6个小岛屿;西部岛群包括特内里费岛大加那利岛帕尔马岛、戈梅拉岛和费罗岛(又称耶罗岛)。

(西班牙语:Islas Canarias[ˈizlas kaˈnaɾjas],当地发音:[ˈiɦlah kaˈnaɾjah];亦称:西班牙语

:Canarias)是摩洛哥西南方大西洋上、归西班牙管辖的一个群岛,是西班牙的十七个自治区之一,也是欧盟最外延的特别领域之一。

因为该群岛有着冬暖夏凉的亚热带气候,又有马斯帕洛马斯和泰德峰等风景优美的去处,因而成为了旅游胜地。干净的空气和合适的地理位置,使得其也成为罗奎克·德·罗斯·穆察克斯天文台和泰德天文台的所在地。

加那利群岛自治区有两个首府,即圣克鲁斯-德特内里费拉斯帕尔马斯,这两个城市同时也分别是西班牙圣克鲁斯-德特内里费省和拉斯帕尔马斯省的省会。自1768年以来,除去1910年的一点短暂时期外,拉斯帕尔马斯都是该群岛的最大城市,第二大城市就是圣克鲁斯-德特内里费。该群岛的第三大城市拉拉古纳的圣克里斯托瓦尔联合国教科文组织评定的世界遗产。

“Islas Canarias”很可能是来自拉丁语“Canariae Insulae”,意思是“有狗的岛屿”。根据历史学家老普林尼,毛里塔尼亚国王朱巴二世是这个名字的创造者,原因是后者认为这个岛上有许多种类的大狗。

另外一个关于“狗”的理论是说原来这个词指的是一种海狗,即僧海豹(拉丁语“canis marinus”),现这种生物在加那利群岛已经灭绝。

此外还有一个说法是岛上的居民关契斯人崇拜狗,他们将狗当做一种神圣的动物,还将其做成木乃伊。实际上古希腊有一个传说是西方有一群“狗头人”,他们居住在一个岛屿上,并崇拜狗。也有将这种狗崇拜和埃及神阿努比斯联系在一起的说法。

加那利群岛与亚速尔群岛、佛得角、马德拉、蛮人群岛共同组成马卡罗尼西亚群岛生态区。特内里费岛岛上的泰德(Teide)火山是西班牙最高的山峰。由于岛的地理位置和信风的影响,气候温湿,有时也非常干燥。岛上保留了几个当地的物种,如龙血树属的 Dracaena draco 和 Laurisilva 照叶林。

拉帕尔玛岛上的 Parque Nacional de la Caldera de Taburiente

特内里费岛上的泰德国家公园(Parque Nacional del Teide)

岛群呈弧形分布,长约 480公里。由特内里费、大加那利、拉帕尔马、戈梅拉、费罗、兰萨罗特、富埃特文图拉等 7个主要岛屿和若干小岛组成,分东、西两岛群。总面积7273平方公里。其中最大的岛屿是形如金字塔的特内里菲岛,人口136.7万(1982),多为西班牙人和当地人混血种人,信奉基督教,通行西班牙语。

首府拉斯帕尔马斯。各岛崎岖多山,海岸陡峭。西岛群地势较高,特内里费岛上的泰德峰(活火山)海拔3718米,为最高峰。东岛群地势较低,离非洲大陆最近的兰萨罗特岛和富埃特文图拉岛,最高点海拔不到730米。气候温和干燥,年降水量仅200~400毫米。

加那利分为两个岛群∶西岛群有特内里费、大加那利、拉帕尔马、戈梅拉和费罗诸岛,由深海底床直接升起的山峰构成。东岛群由兰萨罗特、富埃特文图拉及拔起于一块称为加那利海岭的海底高地的6座小岛组成,海底高地从海底升起约1400公尺(4,500尺)。

加那利群岛由数百万年前的火山爆发形成。西岛群的所有岛上最高点都高于1,200公尺(4,000尺),特内里费的泰德峰(ElTeide)海拔3,718公尺(12,198尺),为西班牙领土内的最高点。

大加那利岛(Gran Canaria),首府拉斯帕尔马斯(Las Palmas de Gran Canaria),人口最密集的岛屿。

特内里费岛(Tenerife),首府圣克鲁斯(Santa Cruz de Tenerife),群岛面积最大人口最多的岛屿。

兰萨罗特岛(Lanzarote),首府阿雷西费(Arrecife),群岛最古老的岛屿。

拉帕尔玛岛(La Palma),首府也叫圣克鲁斯(Santa Cruz de La Palma)

拉戈梅拉岛(La Gomera),首府圣赛巴斯提安(San Sebastian de La Gomera)

富埃特文图拉岛(Fuerteventura),首府罗萨里奥港(Puerto del Rosario)

该群岛属地中海气候。天气温暖,四季变化不大。拉斯帕尔马斯8月的下午平均温度为26℃(79℉),1月只降低到21℃(70℉)。降雨集中在11、12月,雨量小,各地鲜有超过250公厘(10寸)者;只有东北面面风方向部分可达到750公厘(30寸)。

岛上肥沃的火山土和温和的气候宜于多种植被。植物的分布因地势高低不同而异。从海平面到约400公尺(1,300尺)高度的地区种植适宜炎热干旱气候的植物;较为湿润或灌溉条件较好的地区则可生长香蕉、柑桔、咖啡、枣、甘蔗和烟草等作物。在约400~700公尺(1,300~2,400尺)的地区,为近似地中海的气候,主要作物为谷类、马铃薯和葡萄。高于海拔700公尺地区气候相当凉爽,生长冬青、香桃木、月桂等树木。

古代腓尼基人、希腊人、罗马人都曾到过该群岛。公元前40年,毛里塔尼亚国王尤巴二世派远征队到此,见岛上有许多躯体巨大的狗,遂称该群岛为加那利岛,意为“狗岛”。而罗马人见岛上风光绮丽,气候宜人,又把它称为“幸福岛”。999年阿拉伯人到大加那利岛经商。1404年法国探险家J·de贝当古在西班牙卡斯蒂利亚王国的亨利三世支持下占领了兰萨罗特、富埃特文图拉和费罗三岛,并被封为加那利群(意即岛之王)。1420~1479年,葡萄牙军队侵占戈梅拉岛。1479年阿尔卡索瓦条约将该群岛主权划归西班牙。至1496年,西班牙征服了其他岛屿。加那利群岛群岛原为西班牙的直辖省。1927年西班牙政府将该群岛分为两个省。拉斯帕尔马斯省管辖大加那利岛、富埃特文图拉岛、兰萨罗特岛及3个小岛;圣克鲁斯-德特内里费省管辖特内里费岛、帕尔马岛、戈梅拉岛和费罗岛。

1497年起沦为西班牙殖民地。1927年被划为西班牙的两个省:西部名圣克鲁斯特内里费省,东部名拉斯帕耳马斯省。群岛于1982年8月10日根据自治法设为自治区。加那利群岛的原始居民为柏柏尔

(Berber)族的关切人,现已灭绝。柏柏尔人15世纪时为西班牙人征服。约西元前40年,茅利塔尼亚国王朱巴二世(Juba Ⅱ)远征至此,罗马人由此得知有加那利群岛。朱巴所述此事在古典作家普卢塔克(Plutarch)和老普林尼(Pliny the Elder)的著作中保存有记录。老普林尼提到:“加那利之名称来自当地有众多体型巨大的狗(canes)。”13、14世纪间热那亚、马霍卡(Majorca)、葡萄牙和法国航海家曾到达过该群岛。1404年,卡斯提尔(Castile)的亨利三世任命贝当古(Juan de Bethencourt)为群岛国王。贝当古征服了兰萨罗特、富埃特文图拉和费罗,于1406年12月返回欧洲,令其侄马西奥特(Maciot)在当地视事。1420~1479年间,葡萄牙军队征服

戈梅拉。1479年的《阿尔卡索瓦斯条约》(Treaty of Alcacovas)承认西班牙对加那利群岛的宗主权。1496年西班牙征服群岛其余部分,于是加那利群岛成为西班牙至美洲海上航路不可缺少的基地,哥伦布4次西航的船队都在该群岛得到补给。1936年佛朗哥将军以此作为其举行民族主义政变的最早基地,由此前往西属摩洛哥。

20世纪,特内里费和大加那利的人口较其他各岛人口成长速度快。当地人操卡斯提尔西班牙语,带轻微安达鲁西亚(Andalucia)口音,群岛特有的某些古辞语表明曾受葡萄牙影响。

1927年前加那利群岛为西班牙一个省,因群岛上两个最大港口大加那利岛的拉斯帕尔马斯和圣克鲁斯-德特内里费之间的敌对竞争而分为两个省。拉斯帕尔马斯省有大加那利、富埃特文图拉和兰萨罗特和一些小岛,其中3个小岛有人居住。属于圣克鲁斯-德特内里费省的有特内里费、拉帕尔马、戈梅拉和费罗(耶罗)诸岛。

群岛的经济长期以农业为主。直至1853年,在无灌溉系统的山坡上种植的酿酒葡萄是主要产品。该年葡萄蚜虫在葡萄园蔓延为害,不久葡萄种植便由胭脂虫生产代替。由胭脂虫制成洋红颜料的行业在19世纪末期因不能与人工合成染料竞争而趋于衰落,又代之以种植香蕉、番茄、马铃薯和其他蔬菜、水果。香蕉是加那利群岛的主要作物,在西班牙市场上与外国产品的竞争受到保护。番茄是出口商品,生长在11月到4月间;种植花草苗木是新兴的行业。谷物主要赖进口。富埃特文图拉和兰萨罗特以旱地耕种为主,在大加那利和特内里费则到处有灌溉的土地。由于土地分属小土地所有者,所以在有些岛上农业机械化迟迟不能实行。

1950年后,群岛的旅游业发展迅速,随之饭店和政府经营的旅馆大量增加。在旅游高峰季节,拉斯帕尔马斯和圣克鲁斯-德特内里费是主要停泊港,12月到3月为淡季。群岛上的制造业除在圣克鲁斯-德特内里费有大量的原油加工精炼之外,其他地方只有小规模的行业。西班牙政府鼓励投资兴办食品加工工厂。人口约1,534,897(1994)。

20世纪以来经济发展较快,人口增长3倍多。农业是经济的主要部门,土地肥沃,大都为火山灰土。沿岸低地、平原产香蕉、枣椰和甘蔗;地势较高处,主要种植蕃茄、柑橘、柠檬和蔬菜。马铃薯和烟草种植也较普遍。还有少量小麦、大麦、玉米、桃、杏和葡萄等。山区有少数人经营畜牧业。附近海域鱼类资源丰富,渔业较盛。炼油工业发达,年炼油750万吨以上;还有葡萄酒酿造、造船、鱼类加工、食品等。主要出口蕃茄、香蕉、干鱼和鱼罐头。气候宜人,风景秀丽,并有中世纪教堂和现代化娱乐设施,旅游业兴旺,马略卡冬、春季尤盛。每当春季庆祝基督教圣体节时,大加那利和特内里费岛举办的花节名闻遐迩。地处大西洋海运线上的重要十字路口,是非洲、欧洲、美洲间来往轮船的重要燃料供应站。拉斯帕尔马斯位于大加那利岛东北岸,人口约29万,是群岛的最大城市、经济中心和港口。特纳里费岛上的圣克鲁斯,设有大型炼油厂和加油站。其他较大城市还有特尔德、加尔达尔、瓦尔韦德、阿里亚 、帕哈拉等.

加那利群岛与亚速尔群岛、马德拉群岛及佛得角共同组成马卡罗尼西亚群岛生态区。特内里费岛上的泰德峰火山是西班牙最高的山峰。由于岛的地理位置和信风的影响,气候温湿,有时也非常干燥。岛上保留了几个当地的物种,如龙血树属的Dracaena draco和Laurisilva照叶林。

经济主要依靠旅游业,占GDP的32%。加那利群岛每年接待约1200万游客。占国内生产总值近20%的热带农业,主要是香蕉和烟草,种植出口到欧洲和美洲。生态学家担心,特别是在更干旱的岛屿上的资源正在被过度开发,但还有许多农业资源,如西红柿,土豆,洋葱,胭脂虫,甘蔗,葡萄,葡萄藤,枣树,橘子,柠檬,无花果,小麦,大麦,玉米,杏,桃和杏仁。

经济是€25十亿(2001年GDP数据)。这些岛屿在20年期间持续增长,直到2001年,每年约有5%的速度增长。这个增长主要是由于大量的外国直接投资,主要是发展旅游业房地产(酒店和公寓)和欧洲基金(2000年至2007年期间接近110亿欧元),因为加那利群岛被标记为区域目标1(符合欧元结构性基金资格)。此外,欧盟允许加那利群岛政府提供特殊的税收优惠对谁的卵贝斯加那利岛(ZEC)制度下引入投资者创造超过5个工作岗位。

西班牙于2014年8月批准了Repsol及其合作伙伴,探索加纳利群岛的石油和天然气前景,四年来投资75亿欧元,于2016年底开始。当时Repsol表示该地区最终可能每天生产10万桶石油,这将达到西班牙能源需求的10%。然而,获得的样本的分析没有显示出必要的体积和质量来考虑未来的提取,并且该项目被报废。

加那利群岛有很大的自然景观,气候和海滩使这个岛屿成为主要的旅游目的地,每年大约有1200万人访问(2007年为11,986,059人,英国人占29%,不是加那利人居民西班牙人占22%,21%的德国人)。在这些岛屿中,特内里费岛每年接待游客人数最多,其次是大加那利岛和兰萨罗特岛。群岛的主要旅游景点是西班牙最高的山峰(特内里费岛),世界第三大火山(泰德山脉),泰德国家公园,每年接待280万游客。

高山,靠近欧洲和清洁空气的结合使得Roque de los Muchachos的山峰(拉帕尔马岛)成为像Grantecan这样的太空望远镜的领先地位。

这些岛屿在欧盟关税地区和增值税领域之外,尽管在欧盟和申根地区政治上。但没有增值税,当地的销售税(IGIC)的一般税率为7%,税率为13.5%,税率为3%,某些基本需求的产品和服务为零税率。因此,一些产品如果从岛上出口到西班牙大陆或欧盟其他地区,则需要缴纳进口税和增值税。

加那利时间是西欧时间(WET)(或GMT),夏季比格林尼治时间提前一小时)。所以,加那利时间比西班牙大陆慢一个小时,与英国,爱尔兰和葡萄牙一样。

每年春季,是西班牙加那利群岛最热闹的季节,炫目与纯净,截然不同两种风格的狂欢节,接连在这里上演。

虽然加那利群岛距离西班牙本土还有着1100公里的距离,它们只是位于大西洋深处的一群小岛,但这里却是西班牙最有名气的旅游目的地之一。有统计说,每年到加那利群岛的外国游客达1500万,占到西班牙外国游客总数的三分之一。

对于中国游客来说,加那利群岛被我们所知晓,大概要归功于一个名字:三毛。这里是三毛与荷西在欧洲的家,距离非洲西海岸只有130公里,三毛在这里创造了她梦想中的世界。而加那利群岛也是三毛和荷西人生的终点。

加纳利群岛供应新鲜的海鲜,大多数的做法是烧烤,配以番茄、洋葱、橄榄油等沙拉,带有地中海的风味,更能吃出海鲜的鲜味。由于有大量的西班牙人居住于岛上,所以一般城镇能找到不少供应西班牙菜的餐馆比如tapas,海鲜饭等等。由于加纳利群岛所处的地理位置,饮食也深受北非、南美的影响。有几道具有加纳利特色的菜肴不可错过,比如咸烤土豆等,当地人也喜欢用一种名为mojo的佐料配菜吃,有各种不同的口味。当地人把吃看成是重要的生活仪式,应当慢慢享受,所以一般餐馆到了晚上11点还是人满为患。

西班牙是世界上第一个日不落帝国,英国是第二个。西班牙强盛时,占据了北美洲和南美洲的大片地区。从西班牙坐船到美洲,加那利群岛是必经之地,船只都要在加那利群岛进行补给休整,然后再横穿浩瀚的大西洋。

1973年,三毛在西属撒哈拉正式结婚。3年后,荷西夫妇移居西班牙加那利群岛快乐的生活。直到1979年9月30日,荷西在加那利群岛西北端的拉帕尔马岛海域潜水时,意外溺水身亡。

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赫塔菲是本赛季升班马,上赛季西乙第三名,赫塔费附加赛杀出重围晋级,新赛季球员进出不少,球队磨合还需要点时间,赫塔菲近期状态糟糕,近十场比赛2胜3平5负,客场更是1平3负,联赛2场1平1负,近六场比赛一胜难求,赫塔菲的进攻能力也不在水平上。

双方都是属于小球球队,而雷加利斯在主场防守十分良好,客场的赫塔菲进攻不佳,本场比赛我会建议各位选择大小分去下手,五大联赛精准分析,微:zxclove9999。

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为吸引中国游客 这些西班牙小城各有妙招

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中国侨网8月12日电 据《欧洲时报》西班牙版报道,今年5月份,来自西班牙13个城市的市长代表团参加了中国(郑州)国际旅游城市市长论坛,与中国和世界100多个旅游城市的市长或代表共商合作发展。记者随后对部分城市的市长及旅游局局长进行了深度访谈。本期将介绍西班牙卡塞雷斯市、拜萨市、阿尔赫西拉斯市和奥伦塞市如何利用当地文化、自然资源等,吸引海内外游客的目光。

卡塞雷斯(Cáceres)是欧洲历史建筑保存得最好的城市之一。在其摩尔式城墙内,有大量宫殿、国家级教堂、塔、官邸。除了历史遗迹,当地近年来还开发了不少特色自然资源来吸引国际游客。

卡塞雷斯市旅游、贸易局长Raúl Rodríguez Preciado介绍,樱桃花节是当地非常有名的庆祝活动,展示了当地文化、美食、传统和生活方式。

“在五十年前甚至更久以前,我们市里的葡萄酒厂、锻造厂、压榨厂就已经在人们生活中占据着重要的地位。游客们可以参观保留着当地传统建筑特色的房屋,了解我们的祖辈一代是如何在这里生活的。”Raúl Rodríguez Preciado说:“最让人惊艳、吸引游客的是150多万棵的樱桃树一起开花时的浪漫美景。我们把独特的山谷改造成梯田,种上了樱桃树。每当花开时节,漫山遍野的白色映入眼帘,非常美丽。而且, 热情好客的当地居民还会向游客们展示他们的服饰和珍品,带领他们融入到这份梦幻与喜悦中,感受并迎接春天的到来。这一切都将是无与伦比的风景。”

目前,Jerte山谷上有很大一部分在种植樱桃树,种类繁多。由于种类不同,樱桃成熟的时间也不同。农民们在庄园里种植不同种类的樱桃树,因此,采摘时间长达3个月,而6月是大部分种类的樱桃成熟的季节。

Raúl Rodríguez Preciado介绍,几年前,当地就开始组织名为“CERECERA”的樱桃采摘活动。“ 5月底到8月初的每个周末,我们都会有跟樱桃相关的活动,比如,6月3日在Tornavacas举行的樱桃交易会上有樱桃品尝、还有樱桃市集、有向导陪同游客们去采摘樱桃和做游戏的活动等”。

多年来,卡塞雷斯市一直致力于旅游业发展和吸引中国游客,与多家亚洲的旅行社取得联系,为寻求更好的合作方式在市里举行了多次会议。Raúl Rodríguez Preciado表示,“我们逐渐注意到越来越多在西班牙居住的华人家庭会利用假期在西班牙境内旅游。而我们的历史文化遗产、当地文化和美食都是吸引他们来的重要因素。另外,我们的旅游网站已经有了中文页面,让中国游客感受到我们的热情,更加自在舒服。”

Raúl Rodríguez Preciado还表示,“中国旅游市场具有广阔的空间和潜力,对其他国家非常有吸引力。它尚未完全开发,但已迈出了第一步,相信将有不错的成果。”

通过参加中国(郑州)国际旅游城市市长论坛,Raúl Rodríguez Preciado进一步了解了中国经济、社会、文化和旅游资源等,发现了许多企业合作和改善关系的机会。“中西文化虽有差异,但是共同点更多。任何交流活动都会进一步加强两国的联系,改善两国之间的文化和经贸关系。”Raúl Rodríguez Preciado说。

拜萨(Baeza)是西班牙安达卢西亚自治区哈恩省的一个市镇,总面积193平方公里。该市不但拥有丰富的橄榄油生产资源,而且拥有被联合国科教文组织承认的世界文化遗产。当地大学氛围浓厚,安达卢西亚国际大学其中一个校区也选址于此。

目前,西班牙华人已经成为西班牙旅游市场的一只生力军,每到周末都有很多华人家庭在西班牙各地旅游。拜萨市文化旅游教育局长Rocío Poza Cruz表示,中国游客寻求的是跟旅行社经常提供的那些旅游套餐不一样的旅游体验。而拜萨市正好可以满足中国游客的需求。它拥有文艺复兴时期的建筑,是一个历史悠久且风格独特的城市。而且,它是“橄榄油之乡”,拥有与其他地方截然不同的、丰富的橄榄种植景观。“我们要向中国游客展示他们想看到的东西,让他们品尝我们美妙的‘液体黄金’——特级初榨橄榄油”。

拜萨市于2003年7月3日宣布成为世界遗产城市,旅游推广是一项基本活动。Rocío Poza Cruz介绍,拜萨市参加了国内和国际范围内的旅游展览会,主要以欧洲为主,如伦敦、巴黎、柏林等地开展的旅游展览会。“我们的历史遗产和橄榄油不仅是城市的主要经济动力,还是主要的旅游招牌”。

谈及参加中国(郑州)国际旅游城市市长论坛,Rocío Poza Cruz说,“这是一次独特的体验,是我第一次访问中国。我在中国感受到了无与伦比的热情和善意,我们让拥有极大的旅游市场的中国认识到Baeza这个有1.6万居住人口的城市,这已达到了预期目标。”

谈及对中国旅游市场的看法,Rocío Poza Cruz表示,中国是一个在文化上与欧洲文化截然不同的市场,如果可以进行充分且细致的探索,将带来非常可观的经济收益。“中国非常重视旅游业的发展,这是世界经济中一个重要的经济来源,而旅游业的发展也为其经济发展带来收益。 如果有更多的文化交流活动,就可以让我们接触到更多中国的文化。”

阿尔赫西拉斯市(Algeciras)享有得天独厚的地理位置,位于大西洋和地中海之间,邻近英国海外领地直布罗陀,有大片森林。它保留了罗马和阿拉伯的历史文化遗迹,拥有优质海滩,与龙达、马贝拉、塔里法以及丹吉尔这四个城市相连。从港口坐渡船可以抵达缤纷梦幻的东方文化国度——摩洛哥。另外,阿尔赫西拉斯市是西班牙的一个美食城市,当地美味小吃繁多

阿尔赫西拉斯市副市长Susana Pérez Custodio介绍,许多中国人坐船经阿尔赫西拉斯市前往免签国摩洛哥,快捷且舒适。其中,许多人会在阿尔赫西拉斯市停留,观赏安达卢西亚地区最古老的维多利亚风格的 Reina Cristina酒店的花园,参观每日提供数不胜数新鲜海鲜的市场,参观1906年全球12个大国解决非洲北部贸易和政治问题所使用的会议厅,在大街或广场上的餐厅品尝从海里打捞上来的金枪鱼和当地特色的牛肉(vaca retinta),性价比极高。

赴中国参加中国(郑州)国际旅游城市市长论坛后,阿尔赫西拉斯市已开始着手设计适合在西班牙居住的华人群体的旅游方案。Susana Rosa Pérez Custodio说,“我们将继续开发旅游项目,并作为直布罗陀地区的代表城市出席下一届的西班牙国际旅游博览会(Fitur),把我们当地的旅游特色展现出来,而吸引中国市场是我们的首要任务。”

Susana Rosa Pérez Custodio还表示,阿尔赫西拉斯市作为西班牙重要的海港城市,可以利用这一优势加强与中国在经贸、文化、旅游等各方面的合作。“我们对中国投资非常感兴趣,并对其有所了解。中国企业家认真负责,一直致力于社会建设。我们的港口是西班牙乃至整个地中海地区的优质港口,与整个亚洲都维持着贸易联系。中国驻西班牙大使非常关注安达卢西亚自治区,对我们的港口尤甚。另外,我们也在寻求旅游合作伙伴,寻求认识到我们的旅游发展潜力并愿意带中国游客前来旅游的中国旅行社,让大家能够近距离了解我们的历史、文化、美食以及环境。我们将对此表示热烈欢迎,并且相信他们来过后一定会想再回来旅游。”

位于加利西亚自治区的奥伦塞市(Orense)因1230年所建的跨河大桥而闻名全国,城市分中世纪区、十九世纪扩建区和新建郊区三部分,有面粉、木材加工、机器制造和纺织等工业。此外,奥伦塞最具潜力、最吸引人的地方莫过于当地的温泉了。世界上很少有城市能像奥伦塞那样在历史城区有供人们放松身心、马略卡完全免费的温泉水池。

奥伦塞市长Jesús Vázquez Abad表示,奥伦塞不但拥有历史遗产、美食、文化、自然等方面的特色,而且拥有温泉,这让其成为了一个独一无二、非常特别的城市。因此,游客一年四季都可以在这里享受上述的一切,突破传统的“夏季旅游”观念的障碍。

Jesús Vázquez Abad介绍,奥伦塞有多处公共温泉区:As Burgas、O Tinteiro、A Chavasqueira、Mui.o da Veiga、Outariz……每一处都有特定的矿物药用效果。也就是说,每个温泉对缓解治疗不同的身体问题有帮助,有助于维持人体健康。

据悉,奥伦塞市和河南省济源市签署了友好合作协议,未来,双方将继续加强务实合作。Jesús Vázquez Abad称,奥伦塞将加强和济源市的战略合作,建立促进两方之间的贸易及旅游的关系网络,建立联合协同效应,并邀请济源市的领导和企业家们来奥伦塞参观、了解当地可提供的发展机会。(唐尚燕、林碧燕)

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隐藏的伊比利亚 卡塞雷斯: 塔楼与鹳鸟之城

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卡塞雷斯有新城、旧城、古城之分。被中世纪城墙所环绕的古城,遍布古老的教堂、宫殿和府邸。它们大多墙壁厚重、梁脊高大,有的还建起了直刺青天的塔楼,仿佛努力地将狭窄街巷对面的邻居压在自己的阴影中。

从旧城的大广场(Plaza Mayor)向古城方向望去,最显眼的就是一座25米高的正方形碉塔。哈布科塔(Torre del Jabuco)把守着出入古城的主城门——星星门(Puerta de la Estrella)。据说,它最早的奠基石可以追溯到罗马时代,正方形的塔身是标准的阿拉伯样式,而塔顶的垛口和用来倾倒燃烧物的防御口,又是后来基督徒修建的。

1169年,莱昂国王费尔南多二世从摩尔人手中夺取了卡塞雷斯。一个名叫“剑之兄弟会”(Los Hermanos de la Espada)的骑士团在攻城中出力颇多,被安置在这里驻守。但是1174年,阿尔莫哈德王朝的摩尔军队卷土重来,再次攻陷了卡塞雷斯城,并在哈布科塔处死了四十名拒不投降的骑士。席卷整个伊比利亚半岛的收复失地运动(Reconquista,意为“重新征服”),就是一场历时几个世纪的拉锯战,基督徒与穆斯林为了信仰和土地相互厮杀。哈布科塔的这场杀戮不过是其中一朵小小的鲜血浪花。

能在被城墙保护的内城安家,是需要国王特许的,这是对勇武者的一种军功酬劳。田野 摄

1229年,莱昂国王阿尔方索九世从摩尔人手中夺取了卡塞雷斯。他慷慨地把城内的宅邸和城外的牧场分封给在战役中出力最多的将士们。这些新贵来自不同地区、甚至不同国家,谁都难以压倒其他人形成盘据一方的门阀。他们必须不断将自己的子弟送到国王面前效力,以获得更大的利益。正是靠着这种异论相搅的分封体制,北方的基督教君主逐渐蚕食南方的领土,最终战胜穆斯林摩尔人政权,完成了历时将近八个世纪的“收复失地运动”。

1492年,天主教双王攻陷格拉纳达,标志着西班牙完成了统一。卡塞雷斯的古城墙不再发挥军事防御作用,却成为不同社会阶层的分野。城墙之外是平民和穷人们的居住区,贵族们自矜身份,很少踏足。不过,他们也喜欢平民生活的欢快和烟火气,每逢大广场上有欢庆活动,就躲在哈布科塔上的一座阳台上远远地看热闹。

卡塞雷斯的古城墙完好得让人吃惊。在很大程度上,这要归功于贵族们的贪婪。他们直接把宅邸扩展到城墙边,这样不但能侵占城内甬道的公共空间,还省下了砌墙的成本。

十五世纪末,随着收复失地运动的结束和美洲的发现,卡塞雷斯古城达到了繁荣的顶峰。而最美妙的是,它就停留在了那个时代,再没有改变过。从大广场穿过星星门走到古城的大玛利亚教堂(Iglesia de Santa María la Mayor)面前,仿佛连气温都降了几度,让人有种正要穿越到几个世纪前的颤栗感。

哥特式、银匠式(plateresque)和文艺复兴式的教堂和宅邸组成了石头迷宫,让时间都在里面迷了路,保留下了这座西班牙最完好的古建筑群落。放眼望去,每一座有白鹳搭巢的塔楼、每一个精雕细刻的家族盾徽、每一条不知通向何处的小巷,都保持着本初的风貌,想像力在古城中完全派不上用场。

西班牙的古老城市大都有一座主宰建筑。它通常占据着最醒目的位置,或历史久远,或宏大精美,能够赋予这个城市秩序感和独特的气质。比如格拉纳达的阿尔罕布拉宫、布尔戈斯的大教堂、萨拉曼卡的大学,它们分别代表着王室、教会和学者的权势,支配和影响着各自城市的命运和面貌。

而卡塞雷斯古城却没有这种舍我其谁的建筑。眼前的大玛利亚教堂虽然高大,却缺乏天际线的霸气。且不说远处高耸的“鹳塔”,就连教堂隔壁椭圆形的卡尔瓦哈尔塔(Torre de Carvajal)都能吸走不少关注。古城里的贵族府邸像它们的主人一样肆无忌惮,高墙和塔楼如原始森林的树木一般野蛮生长。但这种无序与好斗的城市布局,恰恰最能代表西班牙收复失地运动时期特有的铁血和粗砺。

卡塞雷斯古城有“一千零一盾徽之城”的别号。每一所老房子的主人都把自己的盾徽刻在房屋外墙最显眼的位置,以彰显家族的荣耀和权势。古城当年的居民全都是军事或者宗教贵族,至少也要有伊达尔哥的头衔。伊达尔哥(hidalgo)比骑士(caballero)还要低一级,是hijo de algo的缩合,原意是指大人物的儿子,后来变成了西班牙贵族的门槛级称号,有点儿类似英国的绅士阶层。在卡塞雷斯古城这种贵族扎堆的地方,一个醒目而有故事的盾徽对每个家族来说格外重要。

在卡塞雷斯古城这种贵族扎堆的地方,一个醒目而有故事的盾徽对每个家族来说格外重要。

索利斯家族的宅邸并不宏大,但这座“太阳之家”(Casa de los Solis)门前的盾徽却非常有趣。八个龙头正在啃食太阳发出的光芒,而太阳则是满脸焦急的表情。据说,当年漫长的格拉纳达围城战耗光了天主教双王的积蓄。为了不至于功亏一篑,伊莎贝尔女王决定回到王庭所在的巴利亚多利德(Valladolid)召开廷臣大会进行筹款。当她到达卡塞雷斯的时候,却发现无法按期赶上会议,就请求卡塞雷斯城派出最快的骑手携带她的旨意去赴会。一个小伙子挺身而出自愿前往。伊莎贝尔女王许诺说:“如果你能够与太阳同行,并与太阳同归,我就封你为贵族。”骑手成功地在一个白天内跑了一个来回,顺利解决了筹款的事情。女王因此赐以贵族头衔和这个寓意着跑赢了时光的纹章。“与太阳同行”在古卡斯蒂利亚语中是“Con sol is”,于是Solis就成了这个新贵家族的姓氏。

卡塞雷斯古城的老居民都是在收复失地运动中以军功起家,少不了武士的跋扈和骄傲,邻里间的一点冲突都会演变成为漫延几个世纪的世仇。古老家族间的恩怨情仇比莎士比亚笔下的维罗纳和但丁时代的佛罗伦萨还要血腥激荡。

每个家族都有极高的军事素养,懂得抢占制高点的好处。于是,大家像军备竞赛一般把布满了防御垛口和射击孔的塔楼越建越高,像是抵在仇家和邻居咽喉上的匕首。

卡塞雷斯古城的老居民都是在收复失地运动中以军功起家,大家像军备竞赛一般把布满了防御垛口和射击孔的塔楼越建越高。

在十五世纪中期,卡塞雷斯的高楼密度恐怕不亚于现今任何一个国际大都市的CBD。不过,1475年爆发的卡斯蒂利亚王位争夺战让古城的天际线变得清朗了起来。当时,卡塞雷斯的所有家族都支持伊莎贝尔的侄女胡安娜,只有戈尔芬家族(familia Golfín)和奥万多家族(los Ovando) 坚定地站在未来的天主教女王一边。

即位之后,伊莎贝尔对卡塞雷斯下达了“剪枝令”,命令各家族削低碉塔、去除军事设施,同时却特许奥万多家族在家宅鹳宫(Palacio de las Cigüeñas )修建起一座垛口齐全的高塔作为酬谢,并借以震慑对立的家族。这座全城最高的“鹳塔”的军事作用是如此突出,以至于直到今天它依然属于西班牙国防部,但已经对公众开放并成为文化场所。

厄尔南多·德·奥万多宫(Palacio de los Hernando de Ovando)是这个家族另一支脉的住所,正对着大玛利亚教堂的福音门。在发现新大陆之后不久,出身于此的尼古拉斯·德·奥万多(Nicolás de Ovando)就被天主教双王派到西印度当总督。他招募了大批埃斯特雷马杜拉同乡随行。这些人日后将成为征服美洲的中坚力量,其中就包括秘鲁的征服者弗朗西斯科·皮萨罗(Francisco Pizarro)。埃斯特雷马杜拉由此成为了“征服者之乡”,这片贫瘠的土地将迎来新大陆的滋养。

1502年,奥万多率领30艘船、1500多名殖民者向西印度群岛进发。这是欧洲第一次大规模向美洲移民。为了在加勒比地区发展甘蔗种植,他从非洲引入黑奴到今天的海地岛,成为了美洲奴隶制的始作俑者。

伊莎贝尔女王和丈夫费尔南多国王曾经两次下榻戈尔芬家族的老宅(Palacio de los Golfines de Abajo),并允许他们在大门口刻上天主教双王的徽记以示恩容。戈尔芬家族的先祖是来自法国的骑士,以勇武和横行霸道著称。凭着国王的眷顾,他们更加肆意妄为,还得意洋洋地在宅门口刻上了“戈尔芬家族在此等候末日审判”的家铭。

这个家族的另一处新宅(Palacio de los Golfines de Arriba)见证了西班牙现代史上的一个重要时刻。1936年9月29日,佛朗哥在这里得知自己被任命为国民军的大元帅和右翼政府的元首,并以卡塞雷斯为大本营向马德里发起进攻。西班牙从此进入佛朗哥时代。

如今,古城中最优雅的地方当属圣霍尔豪广场(Plaza de San Jorge),无论是圣周游行、情人约会、古典戏剧节的演出,还是诗人们吟咏自己的新作,都喜欢以此为舞台。通向圣沙勿略教堂(Iglesia de San Francisco Javier)的长阶梯是天然的观众席。而最好的席位其实是钟楼和屋顶的塔楼,不过只有白鹳们才能享用。

为了避免跨越地中海,在北欧和非洲之间往返迁徙的鹳鸟会取道伊比利亚半岛。或许因为方便在附近的河流湿地中觅食,或许是被遍布古城的塔楼所吸引,大批白鹳在这里筑巢停留。卡塞雷斯也因此变成了“鹳鸟的首都”。

自古以来,鹳鸟已经融入了当地人的生活。每年2月3号的圣布拉斯日(San Blas),卡塞雷斯人会格外关注天空中有没有鹳鸟飞来。他们认为,如果此时鹳鸟从非洲归来,意味着天气将回暖进入春天。如果没有鹳鸟出现,意味着严寒还要持续几周。

白鹳经常会在屋檐上、鸟巢边向后弯曲细长的脖颈,快速击打上下喙,发出一连串响板一般的鸣叫。当地人形象地把这种叫声比作“捣蒜”。据说,曾经有位俄罗斯的指挥大师来卡塞雷斯参加露天音乐节。当乐队进行到需要响板的乐段时,周围塔顶上的白鹳竟然一起鸣叫起来,配合得天衣无缝。演出之后,指挥家特意带领所有音乐家和观众一起为卡塞雷斯的鹳鸟鼓掌,感谢它们闻弦识雅意、完美地参加了演奏。

鹳鸟在高塔之间自在地飞翔,在屋顶上悠闲地踱步、剔羽,仿佛它们才是这个城市真正的主人。而那些世家贵胄为了争权和仇杀而建起的豪宅高塔,不过是为了让它们在远徙途中可以惬意地栖居。和这个物种漫长的迁徙历史相比,杂糅着壮怀激烈与贪婪阴谋的“收复失地运动”不过是倏忽之间。马略卡无论是罗马神殿的燔祭、摩尔清真寺的叫拜、还是天主教堂的弥撒钟声,都无法惊扰鹳鸟们的安眠。(本文来自澎湃新闻,更多原创资讯请下载“澎湃新闻”APP)

谈谈奇妙的巴拿赫-塔斯基分球悖论

我小的时候,有一部很有影响的动画片叫做《变形金刚》,那个时候应该是风靡全国甚至全球吧。后来,美国大导演迈克尔.贝把这部动画片搬上了大银幕,拍摄了多集的真人版《变形金刚》电影。在我小时候看的动画片《变形金刚》里面,反派团伙霸天虎中有一个机器人叫做“声波”,变形之后是一个双卡录音机(现在的年轻人都未必知道这是什么东西了)。当它变形成录音机的时候,就是一个和我们当时使用的普通双卡录音机一样大的物体,一个小孩子就可以提走它;但是当它变形成机器人形态的时候,又是一个巨大无比的机器人,和其它能够变形成飞机的霸天虎成员们一样大。我当时就很不理解,为什么它能够忽大忽小?后来,当我第一次接触到“巴拿赫-塔斯基分球悖论”的时候,我就忽然想到了《变形金刚》动画片中的“声波”。

首先需要说明如下三点:(1)巴拿赫-塔斯基分球悖论中的过程,是一个数学上(注意是在数学上,而不是真实物理世界中)在三维几何空间中能够线)这个过程仅仅包括平移和旋转,并没有把球体以及其任何一部分进行拉伸、扭曲或者压缩。(3)这个过程重新组合后形成的两个新球体每个都是和原球体一模一样的,并不是说2个新球体里面充满空洞仅仅是看起来像原来的球体。

于是问题来了。如果像这样的变化是真的,那么《变形金刚》中“声波”那样的忽大忽小的变形难道也有可能是真的吗?答案当然是否定的。我们说的巴拿赫-塔斯基分球悖论,是指一个数学上的过程,真实世界的物体都是有组成结构的,至少目前还不是无限可分的,因此也不会发生忽大忽小的变化。

很多人会说,我们可以把数学世界和真实世界分开,但是即使在数学世界中,这样的变化似乎也不可思议。是的,这就是为什么这个实际上是一个“定理”的数学结论被称为“悖论”的原因。即使是提出这个定理的巴拿赫和塔斯基两个人,当初也是把它当作悖论用来反对集合论中的“选择公理”的。

我认真思考之后,总结下来认为,之所以大家觉得即使在数学上这个结论也是不可思议的,原因在于以下两个重要方面:

1、对于刚接触巴拿赫-塔斯基悖论的人,会觉得一个球的体积是有限的,为什么没有拉伸变换,体积却变为了原来的2倍?

2、对于对集合论有所了解的人,更觉得诧异的是为什么只要把原来的球体分成有限“块”,甚至只要5块,就可以完成这个变换过程了?

巴拿赫-塔斯基分球悖论是需要用到抽象代数中的群论和集合论中的数学工具加以证明的。我这篇文章并不是要给大家严格证明一遍这个定理,而是就上面提到的两点最让大家疑惑的地方,赫塔费给出现代数学的理解,让感兴趣的读者对无限元素组成的集合及其变换有一些更本质的了解。

为了说明为什么体积会变大的问题,让我们从一个比分球简单些的例子——分割单位圆——入手。

如上图,绘制一个单位圆,并把圆周上的点对应到[0,1)这个左闭右开区间的实数上,对应方法为,使圆周上最右边与X轴相交的点对应实数0,其它圆周上的点依照0点绕圆心逆时针旋转的角度占整个圆周的比例对应到某个实数。比如,
更多精彩尽在这里,详情点击:http://jiaoguanzc.com/,赫塔费最上面与Y轴的交点是0点绕圆心逆时针旋转90度角得到,因此对应实数0.25;如果一个点是0点逆时针旋转200度角得到,对应的实数就是200/360=5/9 。

显然,圆周上的点有些对应着有理数,有些对应着无理数。下面,我们要开始对圆周上的所有点依如下步骤进行一些划分:

(1)先把圆周上所有的有理数对应的点找出来,由于有理数是可数的(详见本专栏文章《无穷与对应——集合的基数》),因此我们可以把它们逐一排列成一行,顺序无所谓。为了方便,我们让0这个有理数排第一个吧。

(3)再找一个前面没有出现过的无理数对应的点(所谓前面没有出现过的无理数,意思就是这个新找的无理数与前面找过的所有无理数的差都是无理数,否则这个数必然会出现在前面的某一行中),按照步骤(2)的方式形成第三行;

上述变换从几何图形上来看,就是单位圆上的点经过某种划分后,一部分拿出来旋转一下就得到了全部的单位圆;另一部分再做类似操作,又得到了另一个全部的单位圆。一个单位圆经过这样的变换,无端的得到了两个单位圆。

是不是看起来很像巴拿赫-塔斯基分球呢?当然,这只是针对一维曲线的一个变换,而且与巴拿赫-塔斯基分球悖论很不一样的地方在于这里对单位圆进行了无穷多项的划分,而巴拿赫-塔斯基对球体仅仅分成了5部分就够了。所以,赫塔费这个例子并不是用来证明巴拿赫-塔斯基分球悖论的,而是用来阐释分球悖论中体积是如何变大的。

在这个例子中,我们可以提出类似的问题,为什么仅仅经过旋转变换,一个单位圆就变成了两个,总长度也变成了原来的2倍了呢?

这里面最关键的问题是需要我们说清楚,什么是长度?什么是面积?什么是体积?

先来回顾一下小学我们就学到的这些概念。以面积为例,在讲解长方形面积的时候,会把长方形分割成若干个1*1的小正方形,然后计算这些小正方形的个数用来表示长方形的面积;对于三角形,则把两个全等的三角形拼成一个长方形,从而用长方形面积的一半得到了三角形的面积;梯形的面积则可以用长方形和三角形的组合得到。再后来,如果我们要计算任意不规则曲线围成的面积,则一般利用微积分的知识,把不规则图形划分为极小的梯形或其它三角形、四边形,从而累加求得面积。

但是当我们进入了高等数学,问题会变得复杂一些,比如一个点是否有面积?100个点呢?无穷多个点呢?显然,1个点或者100个点我们可以认为面积是零,但是无穷多个点却无法这样认为,因为长方形里面就有无穷多个点,显然面积不是零。可是有时候无穷多个点组成的未必就是一个传统意义上的图形,比如二维空间中全部有理点(横纵坐标都是有理数的点)的集合的面积是多少?

为了拓展并更加严格的定义长度、面积、体积以至于更高维空间的测量,1901年法国数学家亨利·勒贝格给出了我们今天称为“勒贝格测度”的描述。勒贝格测度具有很多优秀的性质,是n维空间中唯一完备、平移不变且满足单位空间测度值为1的测度。

勒贝格测度的现代结构是基于外测度定义的,它首先定义了n维空间中n维立方体,继而定义了这个n维立方体的体积,然后给出了勒贝格测度的定义。

。按照这个定义,一维立方体就是一条线段,二维立方体就是长方形,三维立方体则是我们通常意义上的长方体。

,这里inf{}表示集合的下确界。通俗一点讲,就是我们找若干个(可数的)n维立方体

的体积之和的最小值(没有最小值时就取下确界)就被定义为集合S的勒贝格测度。另外还有十分关键的一点,为了不发生矛盾,S的勒贝格测度还要满足对于n维空间的任意点集H,都有

勒贝格测度的定义是包含传统意义上长度、面积、体积的定义的。有了勒贝格测度的定义,我们就可以好好地研究一下前面分割单位圆变换中的情形了。

这也是“1”变成“2”的根本原因。在选择公理成立的前提下,可测点集的子集未必是可测的(有关选择公理的内容,会在第三部分详细说)。正是因为我们可以把可测点集划分成若干不可测点集,才导致了在旋转、平移变换后,长度、面积、体积等不再恒定不变了。

到这里,我想我们以分割单位圆为例,说清楚了为什么在巴拿赫-塔斯基分球悖论中,会发生变换后的体积是变换前的二倍的情况。这必然意味着将原球体划分出的5部分中,至少有2部分是不可测的点集,它们经过旋转和平移后,分别成为了新的两个球体中各自的一部分。

下面我们来分析第二点让人觉得不可思议的地方,那就是为什么只要把球体分为5部分就可以完成分球悖论的过程了?

了解集合论的朋友会知道,一个球体中的点可以与两个同样球体中的点建立一一对应。因此,如果极端一点,可以把一个球体中的每个点划分为单独的“一块”,然后按照一个球体到两个球体之间点的一一对应关系,把每个点挪过去,就完成了巴拿赫-塔斯基分球过程。这种对应当然可以在头脑中完成,但是这样的“变换”就完全让人感觉不到像是“悖论”了,这种变换实质上就是重申了一次两个点集之间的一一对应关系。所以,巴拿赫-塔斯基分球悖论还是很有技术含量的,寻找一个有限的划分使分球过程得以完成并不容易。

为了找到一个有限的划分能完成巴拿赫-塔斯基分球过程,我们要先研究三维空间的一类旋转变换。设想一个三维坐标系和一个单位球体,球心在坐标系原点,我们保持球心不动而让这个球体任意旋转一下,这样的变换叫做球心固定的三维空间旋转变换,我们把这类变换叫做SO3 。

SO3中的任何一个变换都具有这样一个特点,那就是从初始位置(角度)开始,无论以怎样复杂的形式旋转,到达变换后的位置(角度)停下来时,会发现这样的变换都相当于绕某一个过原点的轴的一次旋转。换句话说,球心固定后,球体任意两个位置(角度)之间的变换都可以通过绕某一个过原点的轴旋转某一个角度而实现。

SO3中所有的变换构成一个集合(其实这个集合很容易通过定义接连两次旋转作为集合的运算从而形成一个群,但是本文不希望涉及群论的知识,所以不会从群的角度谈太多,当然这也使得这篇文章不能应用群论里面的表示方法以及知识,从而篇幅有些长),如果我们从这个集合中找到一个合适的子集,而且这个子集中的变换能够方便的分成几类且具有某种特定的特点,那么就会给划分球体实现巴拿赫-塔斯基分球带来可能。

前面我们说了,集合SO3中的每个元素都是一个绕过原点的轴旋转某个角度的变换。如果我们从中找出两个变换,并且通过这两个变换及其逆变换的全部组合构成一个SO3的子集,这个子集就可以依据这两个变换的组合方式而加以分类了。下面我们就开始这个构造的过程。

。这里逆变换的意思就是与原变换完全相反的变换,球体经过一次变换,再做一次这个变换的逆变换后,相当于没动,显然这样一对变换必然是互为逆变换的。

搞出来这四个变换的目的是我们可以通过这四个变换组合成无穷组变换,组合方式也很简单,那就是通过依次做这四个变换中的若干个来构成一个新的变换。比如,依次做变换

对于这类组合出来的变换,有以下需要说明的情况(乐于思考的朋友可能此时已经要提出问题了):

这样的组合如何处理?对于这样的组合,我们约定它们可以成对消去,因为这样连续做两次变换后相当于没变。当然,如果消去后最终什么都不剩了,我们约定这样的变换叫做“零变换”,记作{e}。

是由两个变换和两个逆变换组成,虽然变换和其逆变换没有连在一起,不能成对消去,但会不会经过这样的四次变换又相当于没变呢?确实有这样的可能,如果

都是绕同一个过原点的轴的旋转变换的话,这样的情况就会出现。为了不发生这样的情况,我们要求选择的

(3)更愿意深入思考的朋友可能会问,会不会发生某两个不同序列组合出来的变换其实是同一个变换呢?这个问题更深入一些了。首先,我们容易发现任意组合出来的一组变换都有其唯一的逆变换,比如

。我们再假设组合出来的两个变换g和h其实是同一个变换,也就是g=h。那么我们在这两个变换的左边都先操作一遍h的逆变换

不会完全消去。也就是说,“存在不同序列组合出来的两个变换是一样的”等价于“可以组合出来一个不能完全消去的变换等于零变换{e}”。我们可以证明,合理的选择

为“绕x轴顺时针旋转arccos(3/5)角度”。顺时针的方向如何定义本身不重要,只要采用一致的定义方式即可。事实上,只要选择绕z轴和x轴旋转的角度为arccos(r),r是不为0、

这样构造出来的无穷多个变换构成的集合(包括零变换{e})当然是SO3的一个子集,我们把这个子集叫做“通过

得到这个GSO3是有很大用处的,下面我们要对这个GSO3集合中的变换做一次分类,并且要发现分类后的某个重要特点。

我们得到的GSO3及其分类对于完成巴拿赫-塔斯基分球十分重要,下面我们就要利用这些变换开始分球啦。

之所以假设一个不成立的结论,是为了后续说明问题的时候更方便、简洁一些,否则严格说明巴拿赫-塔斯基分球过程还是太繁琐了一些。

(1)在球体表面上任选一点A1,然后让GSO3中的全部变换都对A1作用一次,会得到包括A1本身在内(因为{e}在GSO3中)的若干点的集合,不妨把这个点集叫做O1 。

(2)再选择球体表面上不属于O1中的一个点A2,再让GSO3中的全部变换都对A2作用一次,得到包括A2在内的若干点的集合,叫做O2 。

这样,我们得到了一组点的集合A={A1,A2,A3,A4,……}(再次提醒注意,这是一个不可数集合,我们只不过这样表示一下),另外也得到了一组集合的集合O={O1,O2,O3,O4,……},且这些Oi的并集就是球面上全部的点。

则表示g在所属的GSO3的子集中的每个变换作用在A上得到的点集的并集。

我们要证明M1至M4是对球面点集的一个划分,需要证明两件事情,一个是它们的并集是整个球面,另一个是证明它们任意两个集合的交集为空。

是对GSO3的一个划分,因此它们之间两两不相交,这也就意味着不同的Mi之间的g互不相同。因此,我们只需要证明不同的g作用在相同的Ai和不同的Ai上得到的点一定不同。

设g和h是GSO3中的两个不同的变换,当它们作用在同一个Ai上时,假设

以上证明说明任两个Mi的交集都为空。从而M1、M2、M3、M4确实是对球面的一个划分。

前面的证明中用到了这个假设,但是这个假设实际上是不成立的。不过不要紧,可以证明,如果GSO3这个二元生成旋转变换群针对每个空间中的点A的稳定子群都是可换群(阿贝尔群),那么上述结论仍然成立,只不过划分方法要复杂不少,涉及到群论的较多知识,就不在这里证明了。

只简单说明GSO3对空间每个点的稳定子群都是可换群。其实因为GSO3的每个变换都是绕着过原点的轴的旋转,那么针对某个点A的稳定子群就是以过原点和点A的直线为轴的旋转变换,由于轴固定了,因此其旋转变换群必然是可换群。

除了球心比较特殊外,球体内任何一点都处于半径为某个确定值的球面上,且GSO3变换是绕球心的旋转,因此我们可以扩展M1到M4这四个集合为球心到Mi中的点的连线,这样扩展后丝毫不影响之前的结论。

于是,我们知道,除了球心以外,球体已经完成了巴拿赫-塔斯基分球,而且只划分了四块。

但是球心也是球体的一个组成部分,虽然只是一个点,也不能忽略。怎么办呢?

对球心的处理虽然没那么复杂,但是必须使用群论的一些概念来加以说明,因此我就简单叙述了。

前面的分球完全没有处理球心,这是因为球心在GSO3变换中都是不动的。所以变换完成后,仍然只有一个球心,另外一个球就缺少了球心这一个点。为了解决这个问题,我们调整一下前面的变换,把球心和球表面分离出来,球体的其他部分仍然按照前面的划分处理。

然后让GSO3作用在球面上的全部轨道中,挑选出一个由动点组成的轨道(轨道要么全部由不动点组成,要么就全部由动点组成)。在这个轨道上随便选择一个点P。我们用前面的

对这个轨道上的点做划分,由于这四个集合缺少“零变换”{e},因此划分后就多出来一个点P。在做了前面的分球变换后再把这个点P平移到缺少球心的那个球上去,就万事大吉了。

综上,我们清楚了可以把球体划分成五个部分,其中四个部分都是由不可测的点集组成,第五个部分是一个单独的点。把其中的两个部分旋转一个角度就可以分别和另外两个部分组成两个新的球体,其中一个缺少球心,再把那个单独划出来的点平移到缺的球心处,就完整的完成了巴拿赫-塔斯基分球过程。

费了好大的劲总算把分球的过程说完了。我想,熟悉群论和集合论的朋友会觉得我说的又啰嗦又不严谨,不熟悉的朋友也许有些仍然没有完全看懂。但我还是那个观点,复杂的事情本质上就是复杂的,不可能用简单的语言完整详细的描述清楚。只要有人从中有些收获,我就很满足了。

如果朋友们细心的话,会发现前面的所有证明和说明的过程中,都有一种类似的操作,就是划分出一部分点集后,从剩下的点集中选择一个点,作为下一步划分的基础。这个看似人畜无害的操作反而正是巴拿赫-塔斯基分球悖论的要害!

选择公理是集合论的一个公理,作为公理当然是不证自明的啦。它说的是,我们可以在一组集合中的每个集合里面都选出一个元素组成一个新的集合。

选择公理听上去像是废话,直觉上这种操作当然可以啦。在集合个数有限的时候甚至是可数无限的时候,选择公理都不存在争议;可是当集合个数是不可数无限的时候,就很难说明它为什么仍然成立了。就像我前面两次不厌其烦的指出,虽然我们列出了表格,或者用了A1、A2、……这样的表示方法,但是这些集合不是可数的,实际上是无法用1、2、3、4来编号列出的。

对于不可数无限多集合来说,选择公理是否成立本质上是人们规定的。目前我们规定选择公理是成立的,对于巴拿赫-塔斯基分球悖论的解释,数学家们统一的认识是划分出的点集中存在勒贝格不可测集合,从而导致表面上的“悖论”。

像选择公理这样看起来毫无疑问是成立的“废话”一样的道理,当思考得很深入的时候就会引发似乎违反常识的结论,这是集合论中一个有意思的现象。希望读了这篇文章的朋友能够在这一点上有更深的体会和收获。