谈谈奇妙的巴拿赫-塔斯基分球悖论

我小的时候,有一部很有影响的动画片叫做《变形金刚》,那个时候应该是风靡全国甚至全球吧。后来,美国大导演迈克尔.贝把这部动画片搬上了大银幕,拍摄了多集的真人版《变形金刚》电影。在我小时候看的动画片《变形金刚》里面,反派团伙霸天虎中有一个机器人叫做“声波”,变形之后是一个双卡录音机(现在的年轻人都未必知道这是什么东西了)。当它变形成录音机的时候,就是一个和我们当时使用的普通双卡录音机一样大的物体,一个小孩子就可以提走它;但是当它变形成机器人形态的时候,又是一个巨大无比的机器人,和其它能够变形成飞机的霸天虎成员们一样大。我当时就很不理解,为什么它能够忽大忽小?后来,当我第一次接触到“巴拿赫-塔斯基分球悖论”的时候,我就忽然想到了《变形金刚》动画片中的“声波”。

首先需要说明如下三点:(1)巴拿赫-塔斯基分球悖论中的过程,是一个数学上(注意是在数学上,而不是真实物理世界中)在三维几何空间中能够线)这个过程仅仅包括平移和旋转,并没有把球体以及其任何一部分进行拉伸、扭曲或者压缩。(3)这个过程重新组合后形成的两个新球体每个都是和原球体一模一样的,并不是说2个新球体里面充满空洞仅仅是看起来像原来的球体。

于是问题来了。如果像这样的变化是真的,那么《变形金刚》中“声波”那样的忽大忽小的变形难道也有可能是真的吗?答案当然是否定的。我们说的巴拿赫-塔斯基分球悖论,是指一个数学上的过程,真实世界的物体都是有组成结构的,至少目前还不是无限可分的,因此也不会发生忽大忽小的变化。

很多人会说,我们可以把数学世界和真实世界分开,但是即使在数学世界中,这样的变化似乎也不可思议。是的,这就是为什么这个实际上是一个“定理”的数学结论被称为“悖论”的原因。即使是提出这个定理的巴拿赫和塔斯基两个人,当初也是把它当作悖论用来反对集合论中的“选择公理”的。

我认真思考之后,总结下来认为,之所以大家觉得即使在数学上这个结论也是不可思议的,原因在于以下两个重要方面:

1、对于刚接触巴拿赫-塔斯基悖论的人,会觉得一个球的体积是有限的,为什么没有拉伸变换,体积却变为了原来的2倍?

2、对于对集合论有所了解的人,更觉得诧异的是为什么只要把原来的球体分成有限“块”,甚至只要5块,就可以完成这个变换过程了?

巴拿赫-塔斯基分球悖论是需要用到抽象代数中的群论和集合论中的数学工具加以证明的。我这篇文章并不是要给大家严格证明一遍这个定理,而是就上面提到的两点最让大家疑惑的地方,赫塔费给出现代数学的理解,让感兴趣的读者对无限元素组成的集合及其变换有一些更本质的了解。

为了说明为什么体积会变大的问题,让我们从一个比分球简单些的例子——分割单位圆——入手。

如上图,绘制一个单位圆,并把圆周上的点对应到[0,1)这个左闭右开区间的实数上,对应方法为,使圆周上最右边与X轴相交的点对应实数0,其它圆周上的点依照0点绕圆心逆时针旋转的角度占整个圆周的比例对应到某个实数。比如,
更多精彩尽在这里,详情点击:http://jiaoguanzc.com/,赫塔费最上面与Y轴的交点是0点绕圆心逆时针旋转90度角得到,因此对应实数0.25;如果一个点是0点逆时针旋转200度角得到,对应的实数就是200/360=5/9 。

显然,圆周上的点有些对应着有理数,有些对应着无理数。下面,我们要开始对圆周上的所有点依如下步骤进行一些划分:

(1)先把圆周上所有的有理数对应的点找出来,由于有理数是可数的(详见本专栏文章《无穷与对应——集合的基数》),因此我们可以把它们逐一排列成一行,顺序无所谓。为了方便,我们让0这个有理数排第一个吧。

(3)再找一个前面没有出现过的无理数对应的点(所谓前面没有出现过的无理数,意思就是这个新找的无理数与前面找过的所有无理数的差都是无理数,否则这个数必然会出现在前面的某一行中),按照步骤(2)的方式形成第三行;

上述变换从几何图形上来看,就是单位圆上的点经过某种划分后,一部分拿出来旋转一下就得到了全部的单位圆;另一部分再做类似操作,又得到了另一个全部的单位圆。一个单位圆经过这样的变换,无端的得到了两个单位圆。

是不是看起来很像巴拿赫-塔斯基分球呢?当然,这只是针对一维曲线的一个变换,而且与巴拿赫-塔斯基分球悖论很不一样的地方在于这里对单位圆进行了无穷多项的划分,而巴拿赫-塔斯基对球体仅仅分成了5部分就够了。所以,赫塔费这个例子并不是用来证明巴拿赫-塔斯基分球悖论的,而是用来阐释分球悖论中体积是如何变大的。

在这个例子中,我们可以提出类似的问题,为什么仅仅经过旋转变换,一个单位圆就变成了两个,总长度也变成了原来的2倍了呢?

这里面最关键的问题是需要我们说清楚,什么是长度?什么是面积?什么是体积?

先来回顾一下小学我们就学到的这些概念。以面积为例,在讲解长方形面积的时候,会把长方形分割成若干个1*1的小正方形,然后计算这些小正方形的个数用来表示长方形的面积;对于三角形,则把两个全等的三角形拼成一个长方形,从而用长方形面积的一半得到了三角形的面积;梯形的面积则可以用长方形和三角形的组合得到。再后来,如果我们要计算任意不规则曲线围成的面积,则一般利用微积分的知识,把不规则图形划分为极小的梯形或其它三角形、四边形,从而累加求得面积。

但是当我们进入了高等数学,问题会变得复杂一些,比如一个点是否有面积?100个点呢?无穷多个点呢?显然,1个点或者100个点我们可以认为面积是零,但是无穷多个点却无法这样认为,因为长方形里面就有无穷多个点,显然面积不是零。可是有时候无穷多个点组成的未必就是一个传统意义上的图形,比如二维空间中全部有理点(横纵坐标都是有理数的点)的集合的面积是多少?

为了拓展并更加严格的定义长度、面积、体积以至于更高维空间的测量,1901年法国数学家亨利·勒贝格给出了我们今天称为“勒贝格测度”的描述。勒贝格测度具有很多优秀的性质,是n维空间中唯一完备、平移不变且满足单位空间测度值为1的测度。

勒贝格测度的现代结构是基于外测度定义的,它首先定义了n维空间中n维立方体,继而定义了这个n维立方体的体积,然后给出了勒贝格测度的定义。

。按照这个定义,一维立方体就是一条线段,二维立方体就是长方形,三维立方体则是我们通常意义上的长方体。

,这里inf{}表示集合的下确界。通俗一点讲,就是我们找若干个(可数的)n维立方体

的体积之和的最小值(没有最小值时就取下确界)就被定义为集合S的勒贝格测度。另外还有十分关键的一点,为了不发生矛盾,S的勒贝格测度还要满足对于n维空间的任意点集H,都有

勒贝格测度的定义是包含传统意义上长度、面积、体积的定义的。有了勒贝格测度的定义,我们就可以好好地研究一下前面分割单位圆变换中的情形了。

这也是“1”变成“2”的根本原因。在选择公理成立的前提下,可测点集的子集未必是可测的(有关选择公理的内容,会在第三部分详细说)。正是因为我们可以把可测点集划分成若干不可测点集,才导致了在旋转、平移变换后,长度、面积、体积等不再恒定不变了。

到这里,我想我们以分割单位圆为例,说清楚了为什么在巴拿赫-塔斯基分球悖论中,会发生变换后的体积是变换前的二倍的情况。这必然意味着将原球体划分出的5部分中,至少有2部分是不可测的点集,它们经过旋转和平移后,分别成为了新的两个球体中各自的一部分。

下面我们来分析第二点让人觉得不可思议的地方,那就是为什么只要把球体分为5部分就可以完成分球悖论的过程了?

了解集合论的朋友会知道,一个球体中的点可以与两个同样球体中的点建立一一对应。因此,如果极端一点,可以把一个球体中的每个点划分为单独的“一块”,然后按照一个球体到两个球体之间点的一一对应关系,把每个点挪过去,就完成了巴拿赫-塔斯基分球过程。这种对应当然可以在头脑中完成,但是这样的“变换”就完全让人感觉不到像是“悖论”了,这种变换实质上就是重申了一次两个点集之间的一一对应关系。所以,巴拿赫-塔斯基分球悖论还是很有技术含量的,寻找一个有限的划分使分球过程得以完成并不容易。

为了找到一个有限的划分能完成巴拿赫-塔斯基分球过程,我们要先研究三维空间的一类旋转变换。设想一个三维坐标系和一个单位球体,球心在坐标系原点,我们保持球心不动而让这个球体任意旋转一下,这样的变换叫做球心固定的三维空间旋转变换,我们把这类变换叫做SO3 。

SO3中的任何一个变换都具有这样一个特点,那就是从初始位置(角度)开始,无论以怎样复杂的形式旋转,到达变换后的位置(角度)停下来时,会发现这样的变换都相当于绕某一个过原点的轴的一次旋转。换句话说,球心固定后,球体任意两个位置(角度)之间的变换都可以通过绕某一个过原点的轴旋转某一个角度而实现。

SO3中所有的变换构成一个集合(其实这个集合很容易通过定义接连两次旋转作为集合的运算从而形成一个群,但是本文不希望涉及群论的知识,所以不会从群的角度谈太多,当然这也使得这篇文章不能应用群论里面的表示方法以及知识,从而篇幅有些长),如果我们从这个集合中找到一个合适的子集,而且这个子集中的变换能够方便的分成几类且具有某种特定的特点,那么就会给划分球体实现巴拿赫-塔斯基分球带来可能。

前面我们说了,集合SO3中的每个元素都是一个绕过原点的轴旋转某个角度的变换。如果我们从中找出两个变换,并且通过这两个变换及其逆变换的全部组合构成一个SO3的子集,这个子集就可以依据这两个变换的组合方式而加以分类了。下面我们就开始这个构造的过程。

。这里逆变换的意思就是与原变换完全相反的变换,球体经过一次变换,再做一次这个变换的逆变换后,相当于没动,显然这样一对变换必然是互为逆变换的。

搞出来这四个变换的目的是我们可以通过这四个变换组合成无穷组变换,组合方式也很简单,那就是通过依次做这四个变换中的若干个来构成一个新的变换。比如,依次做变换

对于这类组合出来的变换,有以下需要说明的情况(乐于思考的朋友可能此时已经要提出问题了):

这样的组合如何处理?对于这样的组合,我们约定它们可以成对消去,因为这样连续做两次变换后相当于没变。当然,如果消去后最终什么都不剩了,我们约定这样的变换叫做“零变换”,记作{e}。

是由两个变换和两个逆变换组成,虽然变换和其逆变换没有连在一起,不能成对消去,但会不会经过这样的四次变换又相当于没变呢?确实有这样的可能,如果

都是绕同一个过原点的轴的旋转变换的话,这样的情况就会出现。为了不发生这样的情况,我们要求选择的

(3)更愿意深入思考的朋友可能会问,会不会发生某两个不同序列组合出来的变换其实是同一个变换呢?这个问题更深入一些了。首先,我们容易发现任意组合出来的一组变换都有其唯一的逆变换,比如

。我们再假设组合出来的两个变换g和h其实是同一个变换,也就是g=h。那么我们在这两个变换的左边都先操作一遍h的逆变换

不会完全消去。也就是说,“存在不同序列组合出来的两个变换是一样的”等价于“可以组合出来一个不能完全消去的变换等于零变换{e}”。我们可以证明,合理的选择

为“绕x轴顺时针旋转arccos(3/5)角度”。顺时针的方向如何定义本身不重要,只要采用一致的定义方式即可。事实上,只要选择绕z轴和x轴旋转的角度为arccos(r),r是不为0、

这样构造出来的无穷多个变换构成的集合(包括零变换{e})当然是SO3的一个子集,我们把这个子集叫做“通过

得到这个GSO3是有很大用处的,下面我们要对这个GSO3集合中的变换做一次分类,并且要发现分类后的某个重要特点。

我们得到的GSO3及其分类对于完成巴拿赫-塔斯基分球十分重要,下面我们就要利用这些变换开始分球啦。

之所以假设一个不成立的结论,是为了后续说明问题的时候更方便、简洁一些,否则严格说明巴拿赫-塔斯基分球过程还是太繁琐了一些。

(1)在球体表面上任选一点A1,然后让GSO3中的全部变换都对A1作用一次,会得到包括A1本身在内(因为{e}在GSO3中)的若干点的集合,不妨把这个点集叫做O1 。

(2)再选择球体表面上不属于O1中的一个点A2,再让GSO3中的全部变换都对A2作用一次,得到包括A2在内的若干点的集合,叫做O2 。

这样,我们得到了一组点的集合A={A1,A2,A3,A4,……}(再次提醒注意,这是一个不可数集合,我们只不过这样表示一下),另外也得到了一组集合的集合O={O1,O2,O3,O4,……},且这些Oi的并集就是球面上全部的点。

则表示g在所属的GSO3的子集中的每个变换作用在A上得到的点集的并集。

我们要证明M1至M4是对球面点集的一个划分,需要证明两件事情,一个是它们的并集是整个球面,另一个是证明它们任意两个集合的交集为空。

是对GSO3的一个划分,因此它们之间两两不相交,这也就意味着不同的Mi之间的g互不相同。因此,我们只需要证明不同的g作用在相同的Ai和不同的Ai上得到的点一定不同。

设g和h是GSO3中的两个不同的变换,当它们作用在同一个Ai上时,假设

以上证明说明任两个Mi的交集都为空。从而M1、M2、M3、M4确实是对球面的一个划分。

前面的证明中用到了这个假设,但是这个假设实际上是不成立的。不过不要紧,可以证明,如果GSO3这个二元生成旋转变换群针对每个空间中的点A的稳定子群都是可换群(阿贝尔群),那么上述结论仍然成立,只不过划分方法要复杂不少,涉及到群论的较多知识,就不在这里证明了。

只简单说明GSO3对空间每个点的稳定子群都是可换群。其实因为GSO3的每个变换都是绕着过原点的轴的旋转,那么针对某个点A的稳定子群就是以过原点和点A的直线为轴的旋转变换,由于轴固定了,因此其旋转变换群必然是可换群。

除了球心比较特殊外,球体内任何一点都处于半径为某个确定值的球面上,且GSO3变换是绕球心的旋转,因此我们可以扩展M1到M4这四个集合为球心到Mi中的点的连线,这样扩展后丝毫不影响之前的结论。

于是,我们知道,除了球心以外,球体已经完成了巴拿赫-塔斯基分球,而且只划分了四块。

但是球心也是球体的一个组成部分,虽然只是一个点,也不能忽略。怎么办呢?

对球心的处理虽然没那么复杂,但是必须使用群论的一些概念来加以说明,因此我就简单叙述了。

前面的分球完全没有处理球心,这是因为球心在GSO3变换中都是不动的。所以变换完成后,仍然只有一个球心,另外一个球就缺少了球心这一个点。为了解决这个问题,我们调整一下前面的变换,把球心和球表面分离出来,球体的其他部分仍然按照前面的划分处理。

然后让GSO3作用在球面上的全部轨道中,挑选出一个由动点组成的轨道(轨道要么全部由不动点组成,要么就全部由动点组成)。在这个轨道上随便选择一个点P。我们用前面的

对这个轨道上的点做划分,由于这四个集合缺少“零变换”{e},因此划分后就多出来一个点P。在做了前面的分球变换后再把这个点P平移到缺少球心的那个球上去,就万事大吉了。

综上,我们清楚了可以把球体划分成五个部分,其中四个部分都是由不可测的点集组成,第五个部分是一个单独的点。把其中的两个部分旋转一个角度就可以分别和另外两个部分组成两个新的球体,其中一个缺少球心,再把那个单独划出来的点平移到缺的球心处,就完整的完成了巴拿赫-塔斯基分球过程。

费了好大的劲总算把分球的过程说完了。我想,熟悉群论和集合论的朋友会觉得我说的又啰嗦又不严谨,不熟悉的朋友也许有些仍然没有完全看懂。但我还是那个观点,复杂的事情本质上就是复杂的,不可能用简单的语言完整详细的描述清楚。只要有人从中有些收获,我就很满足了。

如果朋友们细心的话,会发现前面的所有证明和说明的过程中,都有一种类似的操作,就是划分出一部分点集后,从剩下的点集中选择一个点,作为下一步划分的基础。这个看似人畜无害的操作反而正是巴拿赫-塔斯基分球悖论的要害!

选择公理是集合论的一个公理,作为公理当然是不证自明的啦。它说的是,我们可以在一组集合中的每个集合里面都选出一个元素组成一个新的集合。

选择公理听上去像是废话,直觉上这种操作当然可以啦。在集合个数有限的时候甚至是可数无限的时候,选择公理都不存在争议;可是当集合个数是不可数无限的时候,就很难说明它为什么仍然成立了。就像我前面两次不厌其烦的指出,虽然我们列出了表格,或者用了A1、A2、……这样的表示方法,但是这些集合不是可数的,实际上是无法用1、2、3、4来编号列出的。

对于不可数无限多集合来说,选择公理是否成立本质上是人们规定的。目前我们规定选择公理是成立的,对于巴拿赫-塔斯基分球悖论的解释,数学家们统一的认识是划分出的点集中存在勒贝格不可测集合,从而导致表面上的“悖论”。

像选择公理这样看起来毫无疑问是成立的“废话”一样的道理,当思考得很深入的时候就会引发似乎违反常识的结论,这是集合论中一个有意思的现象。希望读了这篇文章的朋友能够在这一点上有更深的体会和收获。

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